第三章 利用期货的对冲策略
hint：即期价格、期货价格、现货价格，即期价格spot price = 现货价格 current price
这里考虑使用 一劳永逸 的对冲策略（保完即忘，hedge-and-forget strategy），一旦设定对冲策略后无需进行调整。也存在动态对冲策略（dynamic hedging strategy）。
一、 基本原理
假如一个商品价格上涨1分会使企业收入10000元，降价1分会使企业损失10000元，那么应该签约空头，抵消掉损失和收益。
1. 空头对冲 short hedge
对冲者选择期货的空头方。一般是拥有某种资产并期望在将来某时刻卖出，或当前不拥有但是将来会拥有资产时选择空头对冲。
2. 多头对冲 long hedge
持有多头。公司已知将来需要买入一定资产、想在今天将价格锁定。相对于当下就买，使用期货合约还可以获得利息、免去贮存费用。
计算总收益的方法为，把到期后的买卖款项氛围两部分：根据期货合约的价格买卖的收入/支出（主要，等于不承约期货需要产生的交易额） + 相比即期价格的差价 = c （基本不变的常数）
二、拥护和反对对冲的观点
现实中，一些风险不被对冲。
1. 对冲与股东
一些人认为，如果需要，股东自己可以对冲风险，不需要公司来进行。但是 1. 股东可能并不充分了解风险 2.股东相比公司，对冲的成本高。
2. 对冲和竞争
某些行业里，如果大家都不对冲风险，那么对冲意义不大。因为行业之间的竞争会使得商品/服务的价格被调整，反映出原料价格、汇率、利率的变化，大家都变，对冲意义不大，反而可能在某些情况利润变烂。
3. 对冲抹消了利润
黄金矿业公司和高盛的例子（from 10th P45）
黄金矿业公司担心黄金价格会变化而采取对冲决策，这样似非常自然。通常黄金矿业公司需要花好几年时间来提炼金矿中的黄金。当一家企业准备开发一个金矿时，自然也就会对黄金价格有很大的风险做口。一个表面看起来会盈利的金矿在黄金价格狂跌的情况下可能会变得亏损。
黄金矿业公司会很谨慎地向股东解释所采用的对冲决策，但有些黄金矿业公司不采取对冲，这样做可以吸引那些想在黄金价格上涨中盈利，同时在黄金价格下跌时能够接受损失的投资者。其他公司采取对冲来回避风险，这些公司对今后几年内的黄金月产量有一个大概的估计，然后通过期货空头或远期合约来锁定卖出黄金的价格。
假设你代表高盛公司 (Goldman Sachs) 与某黄金矿业公司签订了一个远期合约，合约规定你要以某一指定价格买入一笔很大数量的黄金，这时你将如何对冲风险呢?对这个问题的答案是：你会在中央银行借入黄金，然后将黄金在现货市场上变卖（许多国家的中央银行都有大量的黄金储备），并将所得资金以无风险利率进行投资。在远期合约满期时，你从黄金矿业公司那里买入黄金并偿还中央银行，这里所指定的黄金远期价格反映了你所能挣到的无风险利率以及你向中央银行支付的黄金租用利率。
对于Goldman Sachs，风险为未来黄金价格降低，以合约价格购买会导致亏损。因此需要选择一个黄金价格降低时候会受益的方法对冲，一种方法就是承约黄金期货的空头，当然，上面的方法其实也类似。如果黄金价格下降，期货或合约的对冲手段会通过空头方对冲掉损失，而上述方法则是，如果黄金价格下降，在合约中高盛的购买看似亏了，但是实际上通过一开始租黄金卖掉，这部分亏的转嫁给了买家了（买在贵点了），高盛整体上其实相当于把租黄金换来的那部分钱用于无风险投资了，毕竟最后还给央行的黄金现货有了保证（合约）。
三、基差风险 basis risk
对冲的时候，可能因为以下原因出现风险：
(1) 需对冲价格风险的资产和合约标的不完全一样
(2) 无法确定买入、卖出资产的准确时间
(3) 期货到期月钱可能需要平仓
1. 基差 basis
基差 = 被对冲资产即期价格 - 用于对冲的期货合约价格 or = 期货价格 - 即期价格
假设要在未来卖出商品，于是持有合约/期货空头，当前t1，未来t2平仓（t2可能在到期月之前，所以此时即期价格和合约价格还不一样），假设即期价格为S1、S2，期货价格为F1、F2，基差为b1、b2，则有$b1=S_1-F_1$ , $b_2=S_2-F_2$，而对冲后，最后卖出价格为：$F_1-F_2+S_2=F_1+b_2$，和最开始对冲的期望差了b2这么一个基差，这是因为这个时间即期价格和期货价格还未收敛至一致。这个b可正可负，可能带来风险。对于t2要买的人，买入价格仍然是$S_2 + F_1 - F_2=F_1+b_2$ 这时候如果b2为正就会不利。
t2要卖出的人，期货中获得的收益：$F_1-F_2$，商品/服务卖出收益$S_2$，合起来是$F_1-F_2+S_2$
对冲过程，t2要卖，所以t1看空对冲未来收入F1，t2用看多平仓支出F2，同时t2要卖，卖的是即期价格S2
而对于交叉对冲 (cross hedging)，也就是风险资产和合约标的资产不一样的，基差还包含了两种资产即期价格不同产生的基差
假设$S_2^$是合约标的资产t2时的即期价格，卖出时仍有$S_2+F_1-F_2=F_1 + (S_2^-F_2) + (S_2-S_2^)=F_1 + b_2^$ ，这时候基差不仅包含了即期价格和合约价格的差，还有因为资产不同带来的即期价格差异。
2. 对合约的选择影响
前提：多头对冲者不希望进行实物交割，花费很大，更prefer平仓后再常用供应商处买入资产（这时候平 - 即期价格差其实就是基差），因此基差存在。
需要考虑 1. 合约标的资产选择 2. 交割月份（一般靠后一些，因为可能价格不稳定+承担实物交割风险），但是对冲期限和期货交割差距增大基差风险就增大。
四、交叉对冲
1. 计算最小方差对冲比率
此时假设是远期合约（或者说期货市场没有每日结算制度）
对冲比率 hedging ratio
$\frac{持有期货合约头寸数量}{资产风险敞口数量}$，如果相等就是1.0，但是在交叉对冲中，可能1.0并不是最好，而应该追求一个合适的比率，使得被对冲后头寸价格变化方差极小化（对冲后，被对冲资产+用于对冲的期货标的资产=头寸，头寸价格变化方差小意味着变化幅度小，风险低）。
对于头寸价格变化，可以认为是$\Delta S和\Delta F$之间的共同作用，S增加而F增加的不多，如果对于未来卖家（持有空头），如果这时候平仓就会赚的更多。让$h^*=b=\rho \frac{\sigma_S}{\sigma_F}$ 其中b是$\Delta S对\Delta F$线性回归的回归线斜率，后面标准差和相关系数的等式可参考计量经济学。
对冲效率 hedge effectiveness
定义为对冲消除的方差量占总方差比例，可以用$\Delta S对\Delta F$线性回归的$R^2$来表示（像不像可解释方差占总方差？其实一样！）
2. 最优合约数量
$Q_A$：被对冲头寸的数量
$Q_F$：一份期货合约规模
$N^$：用于对冲的最优合约数量（买多少份）
$$
N^=\frac{h^*Q_A}{Q_F}
$$
分子为合约应该对应的总资产。
3. 每日结算的影响
这意味着每天都有一个对冲，而非只有最后有一个对冲。
这种情况下，每天都应该调整合约数量（？）
$\hat{\sigma_S}$：现货价格每天百分比变化的标准差
$\hat{\sigma_F}$：期货价格每天百分比变化标准差
$\hat{\rho}$：期货价格、即期价格每天百分比变化之间相关函数。
根据第一节的计算，$h^*=相关系数 \times 标准差变化之比$，前者为$\hat{\rho}$，后者分子为$\hat{\sigma_S}*S$
分母类似。
根据回归有，$\hat{h}=\hat{\rho}\frac{\hat{\sigma_S}}{\hat{\sigma_F}}$
根据上一节的N*公式，用h的预测值$\hat{h}$替换h，$ N^=h^\frac{Q_A}{Q_F}=\hat{\rho}\frac{\hat{\sigma_S}SQ_A}{\hat{\sigma_F}FQ_F}=\hat{\rho}\frac{\hat{\sigma_S}*V_A}{\hat{\sigma_F}*V_F} $
VA是头寸价值,value_A（因为这里的标准差为百分比，需要乘总数），$V_A=SQ_A, V_F=FQ_F$
或者说，更好的理解：$\hat{\sigma_S}=\frac{\sigma_S}{S}$，而ρ-hat和ρ一样。
最终：
$$
N^*=\hat{h}\frac{V_A}{V_F}
$$
考虑利息
由于保证金账户会产生利息，所以假如对冲时间为1年，年利率为5%，那么N操作的时候就可以让N/1.05，因为这5%的部分可以从期货里面涨出来。
五、股指期货
股指stock index，是反映多支股票投资组合（按市值或价格等方式计算权重）的价值的虚拟指数。
1. 股指
美国常见指数：道琼斯工业平均指数（30个美国蓝筹股，权重 $\alpha~ $股票价格，对应期货是10$ * 指数值， mini是5$），标普500（500种股票=400工业+40公共事业+20交通+40金融，权重和总市值成比例，对应标的是250$ * 指数，或mini合约 50$ * 指数），纳斯达克100（纳斯达克的100只股票， 100$ 或 20$）
2. 股票组合对冲
股指期货对冲
(1) 对冲跟踪指数的组合
如果一个股票组合跟踪了一个指数，那么可以通过$h^*=1.0$的对冲率进行风险对冲。
(2) 不跟踪指数
使用CAPM定价模型选取对冲率，具体来讲，CAPM模型的计算公式为
$$
预期资产回报 = R_F+\beta (R_M-R_F)
\tag{1}
$$
在(1)式中的$\beta$衡量了该资产回报“风险溢价”（这里是我“理解”出的概念，对应$R_M-R_F$）和市场回报$R_M$（所有可投资资产构成的组合）的关系，其中$R_F$为无风险利率。
CAPM模型可以为一个分散化的股票组合预测其组合回报，在$\beta = 1$时，组合收益跟踪市场收益，$\beta = 2$时，“风险收益率” 是 股票市场整体“风险收益率”的两倍，意味着其涨跌都是市整体（比如股指）的两倍，因此对冲率$\hat{h}=\beta$。
书中例子说明，如果采用这种方式对冲，最后的收益大约和无风险收益类似。
3. 对冲股权组合的理由
如果对冲收益率和无风险收益类似，那为什么还要对冲：(1) 相信他的portfolio比市场好，调整$\beta$使得
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